Malarz i ilustrator. Urodził się w Skoczowie. Studiował malarstwo na Akademii Sztuk Pięknych w Krakowie. Wiosną 1939 uzyskał stypendium i wyjechał do Paryża, pozostając już na zawsze we Francji. Po zajęciu Paryża przez Wehrmacht schronił się w Aix-en-Provence. Po 1947 przeniósł się nad Zatokę Lwią i mieszkał w Mentonie. Podczas pobytu w Vallauris w latach 1951/52 poznał Pabla Picasso, który mieszkał i tworzył tam między 1948 a 1955 rokiem. Wpływ Picassa widać w mocno kubizujących liniach jego obrazów z tego okresu. Przyjaźnił się również z z Marc Chagallem, którego wpływ widać jeszcze najmocniej w jego twórczości. Wspólnie z Henri Matissem, który mieszkał w Vence, założył w 1951 i prowadził Biennale Internationale d’Art de Menton, gdzie wystawiał swoje obrazy. Jego dzieła zostały nagrodzone srebrnym medalem na pierwszej (1951) oraz drugiej (1953) ich edycji. Mimo tak silnych osobowości artystycznych, z jakimi żył i tworzył na południu Francji, Klimek miał jednak swój własny styl, własny świat, zaludniony głównie przez postaci kobiece i wypełniony widokami pokochanego przez siebie południa Francji. Przez 45 lat działalności artystycznej na Lazurowym Wybrzeżu, Klimek pozyskał miano „twórcy śródziemnomorskiego” oraz szerokie grono amatorów i kolekcjonerów.